mateforum.ro

Se poate acoperi planul cu cercuri disjuncte de raza strict pozitiva?

Intr-adevar, planul nu poate fi acoperit cu cercuri (si nu puncte!) disjuncte. Intuitiv, interiorul unui cerc va fi acoperit cu cercuri de raze tot mai mici care vor sfarsi prin a fi de raza nula, adica puncte.

Insa spatiul poate fi acoperit cu cercuri disjuncte de raza strict pozitiva!

O sfera (suprafata ei, deci nu bila) din care scoatem 2 puncte, poate fi acoperita cu cercuri, astfel:
Daca cele 2 puncte sunt diametral opuse, cercurile situate perpendicular pe acel diametru (asa cum sunt axele de latitudine ale Pamantului care pornesc de la poli spre ecuator) acopera sfera fara cele 2 puncte.
Daca cele 2 puncte nu sunt diametral opuse, planele tangente la sfera in aceste puncte se taie intr-un punct. Fascicolul de plane, situate intre planele tangente, care trec prin acest punct lasa pe sfera cercuri disjuncte care o acopera in totalitate (fara cele 2 puncte alese).

Acum, sa alegem un plan \( xOy \) in spatiul \( \mathbb{R}^3 \). Originea lui va fi si originea spatiului. Consideram in acest plan cercurile disjuncte de ecuatie \( (x-\(4n+1\)\)^2+y^2=1, \forall n\in\mathbb{N}. \)
Se vede ca orice sfera centrata in origine taie fie unul din cercurile alese in 2 puncte, fie este tangenta la fix 2 cercuri. Astfel vom obtine sfere fara 2 puncte, care, conform celor de mai sus, se pot acoperi cu cercuri disjuncte. Acestea, impreuna cu cercurile din \( xOy \) vor acoperi in totalitate spatiul.

Remarca. De ce e mai "bun" \( \mathbb{R}^3 \) decat \( \mathbb{R}^2 \)?
O idee ar fi ca cercurile se pot inlantui sub forma unor zale in spatiu, ceea ce nu mai este valabil in plan.