mateforum.ro

Se considera o functie continua \( f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} \) cu proprietatea :
\( \int_0^1{(x-1)^2f(x)dx}=0 \)
Sa se arate ca exista \( \alpha\in (0,1) \) astfel incat sa avem : \( \int_0^{\alpha}{(\alpha-x)f(x)dx}=0 \)

I.V.Maftei, Concursul Laurentiu Duican 2009

Pentru rezolvare se aplica Teorema lui Rolle functiei \( g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} , g(y)=\int_0^y(x-y)^2f(x)dx \)

Se rezolva simplu considerand functia \( g(x)=x\int_0^x f(t)dt-\int_0^x tf(t)dt \).Avem \( g^{\prime}(x)=F(x)=>g^{(2)}(x)=f(x) \).De aici totul iese inlocuind pe f cu g secund in relatia din ipoteza si observand ca de aici rezulta\( \int_0^1 g(x)dx=0 \),deci g se anuleaza in interiorul intervalului ,chestie ce rezulta din aplicarea teoremei Rolle functiei G,\( G(x)=\int_0^x g(t)dt \)