mateforum.ro

Fie \( ABCD \) un patrulater convex circumscris unui cerc si \( P,\ Q,\ R,\ S \) punctele de tangenta ale patrulaterului cu cercul, \( P\in (AB),\ Q\in (BC),\ R\in (CD),\ S\in (DA). \)
Sa se arate ca dreptele \( AC,\ BD,\ PR,\ QS \) sunt concurente.

Aratam ca AC , PR si QS sunt concurente.

Fie \( \{X\}=AC\cap QS \) si \( \{Y\}=AC\cap PR \)

Din teorema sinusurilor in triunghiurile ASX si CQX avem

\( \frac{AX}{\sin \angle S}=\frac{AS}{\sin \angle X} \) si \( \frac{CX}{\sin \angle Q}=\frac{CQ}{\sin \angle X} \) deci \( \frac{AX}{CX}=\frac{AS}{CQ} \) (1)

Analog din triunghiurile APY si CRY obtinem \( \frac{AY}{CY}=\frac{AP}{CR} \) (2)

Din (1) si (2) rezulta ca \( \frac{AX}{CX}=\frac{AY}{CY} \) de unde X=Y.

Analog se arata ca BD , PR si QS sunt concurente si apoi concluzia problemei.

Alte proprietati gasiti ale patrulaterelor circumscriptibile gasiti aici:
http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf