Page 1 of 1
O problema de coliniaritate
Posted: Wed May 13, 2009 8:16 am
by Mateescu Constantin
Fie \( A^{\prime},\ B^{\prime},\ C^{\prime} \) punctele diametral opuse varfurilor triunghiului \( ABC \) in cercul circumscris acestuia.
Sa se demonstreze ca tangentele in \( A^{\prime},\ B^{\prime},\ C^{\prime} \) la cercul circumscris intersecteaza dreptele \( BC,\ CA,\ AB \) in trei puncte coliniare.
Posted: Fri May 15, 2009 6:14 pm
by mihai miculita
GENERALIZARE:
\( \mbox{Fie ABC un triunghi si P un punct din planul sau. Notam cu } A_1, B_1 \mbox{ si cu }C_1
\mbox{ cel de al doilea punct de intersectie al }\\
\mbox{dreptelor AP, BP si respectiv PC cu cercul circumscris triunghiului ABC. Sa se arate ca tangentele duse la cercul }\\
\mbox{circumscris triunghiului ABC in punctele }
A_1, B_1 \mbox{ si }C_1
\mbox{ intersecteaza dreptele BC, CA, AB in trei puncte coliniare.} \)
Posted: Sat May 16, 2009 10:40 am
by Mateescu Constantin
Sa plecam de la urmatoarea idee:
Daca \( XYZ \) este un triunghi si \( T\in YZ,\ T\neq Y,\ Z \) si \( \alpha=m(\angle TXY),\ \beta=m(\angle TXZ) \) atunci avem relatia:
\( \frac{TY}{TZ}=\frac{XY}{XZ}\cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}. \)
Revenind la problema (varianta generalizata) sa notam \( \{D\}=AP\cap BC,\ \{E\}=BP\cap AC,\ \{F\}=CP\cap AB. \) Fie \( M,\ N,\ P \) punctele in care tangentele duse la cercul circumscris triunghiului \( ABC \) in \( A_1,\ B_1,\ C_1 \) intersecteaza dreptele \( BC,\ CA,\ AB \).
Avem \( \frac{MB}{MC}=\frac{A_1B}{A_1C}\cdot \frac{\sin(\angle MA_1B)}{\sin(\angle MA_1C)}=\frac{DB}{DC}\cdot \frac{\sin C}{\sin B}\cdot \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)}=\left\(\frac{DB}{DC}\right\)^{2}, \) deoarece \( \frac{BD}{CD}=\frac{c}{b}\cdot \frac{\sin (\angle BAD)}{\sin (\angle CAD)} \) si \( \frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}. \)
Analog vom avea si \( \frac{NC}{NA}=\left\(\frac{EC}{EA}\right\)^{2},\ \frac{PA}{PB}=\left\(\frac{FA}{FB}\right\)^{2}. \)
Dreptele \( AD,\ BE,\ CF \) sunt concurente
\( \Longrightarrow^{T.Ceva}\ \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1 \)
Pe de alta parte \( \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}\cdot \frac{AP}{PB}=\left\(\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}\right\)^{2}=1
\)
\( \Longrightarrow ^{R.T.Men.}\ \ M,\ N,\ P \) coliniare.