mateforum.ro

Fie \( a,\ b,\ c \) trei numere intregi si \( a>0 \). Sa se arate ca daca ecuatia \( ax^{2}+bx+c=0 \) admite 2 radacini distincte in intervalul \( \(0,\ 2\) \), atunci \( a\geq2,\ b\leq -3,\ c\geq 1. \)

Demonstram mai intai ca \( a\ge 2 \) adica \( a \) diferit de \( 1 \)
Pentru \( a=1 \) ecuatia devine \( x^2+bx+c=0 \)
Din relatiile lui Viette obtinem \( b\in\( -4,0\) \) si \( c\in\(0,4\) \)
Daca \( c=1\Longrightarrow b=3 \), daca \( c=2\Longrightarrow b=3 \) si daca \( c=3 \) \( b \) iese din domeniul de definitie, toate cazurile conducand spre o contradictie a intervalului radacinilor.
Deci \( a\ge 2 \)
Din relatia lui Viette avem evident \( b\le 0 ;c\ge 0 \)
Daca \( c=0 \) una din radacini este \( 0 \) asadar \( c\ge 1 \)
Si acum \( \Delta>0\Longrightarrow b^2-4ac>0 \), dar \( 4ac\ge 8\Longrightarrow b\le -3 \)