mateforum.ro

Sa se arate ca \( \mathbb{Z}/I \) este un inel finit, oricare ar fi \( I \) ideal nenul al lui \( \mathbb{Z} \).

(Aceeasi proprietate o are si \( \mathbb{Z} \), dar este mult mai usor de demonstrat.)

Fie \( I \) ideal in \( Z \). Cum \( Z \) este inel principal, rezulta ca exista \( a,b\in Z \) astfel incat \( I=<a+ib> \).

Folosind teorema a doua de izomorfism rezulta:
\( \frac{Z}{<a+ib>}\approx \frac{Z[X]/<X^2+1>}{<a+bX>+<X^2+1>/<X^2+1>}\approx\frac{Z[X]}{<a+bX>+<X^2+1>} \).

Acum uitandu-ne la \( \frac{Z[X]}{<X^2+1>+<a+bX> \) observam ca aceasta (ca multime) este 'inclusa' (folosim \( A\subset B \) si cand exista injectie de la A in B) in \( \{uT+v| 0\le u<b, 0\le v<a^2+b^2\} \), unde T este o chestie formala (nu conteaza structura algebrica). Aceasta multime din urma are cardinalul \( b\cdot(a^2+b^2) \), deci finit.

Mai general, e adevarat pentru toate inelele de intregi ale corpurilor de numere algebrice. Cazurile mentionate aici sunt cele ale corpurilor \( Q(i) \) si \( Q \).

Ar fi interesant de vazut daca exista o caracterizare a inelelor comutative (unitare) care se bucura de proprietatea asta. E aproape clar, de exemplu, ca trebuie sa fie Noetheriene si ca au dimensiune Krull cel mult 1; mai mult, daca dimensiunea e 1 si nu 0, adica daca nu sunt Artiniene, atunci ele sunt domenii. Nu stiu insa (nici nu m-am gandit cine stie ce) daca in cazul asta trebuie sa fie domenii Dedekind.