mateforum.ro

Fie \( ABC \) un triunghi echilateral. O dreapta tangenta la cercul inscris in triunghi intersecteaza \( [AB] \) si \( [AC] \) in \( D \) si \( E \).

Sa se arate ca: \( \frac{AD}{DB}+\frac{AE}{EC}=1. \)

1.
\(
\mbox{Notam cu } D_1 \mbox{ simetricul punctului D fata de mijlocul laturii [AB] (izotomicul punctului D) si cu } E_1\\
\mbox{simetricul lui E fata de mijlocul laturii [AC]} \)
\( \Rightarrow |D_1B|=|DA|, |D_1A|=|DB|, |E_1C|=|EA| \mbox{ si } |E_1A|=|EC|. \ \ (1) \)
2.
\( \mbox{O fiind centrul triunghiului echilateral ABC, avem: }\\
m(\angle{BOD})+m(\angle{EOC})=m(\angle{DOE})+m(\angle{BOC})=180^0\Rightarrow m(\angle{DOE})=60^0. \)
3.
\( \mbox{Punctele } D_1, O, E_1 \mbox{ sunt coliniare! si O fiind centrul de greutate in } \triangle{ABC}\Rightarrow \frac{|D_1B|}{|D_1A|}+\frac{|E_1C|}{|E_1A|}=1.\ \ (2) \)
4.\( \mbox{In fine din relatiile (1) si (2), obtinem relatia din enuntul problemei.} \)

Iata si generalizarea problemei:

Fie \( \triangle ABC \) si punctele \( D\in [AB],\ E\in [AC] \) astfel incat dreapta \( DE \) este tangenta la cercul inscris in triunghi . Demonstrati ca:

\( \frac{AD}{DB}\cot\frac{B}{2}+\frac{AE}{EC}\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}. \)

Remarca. In solutia mea arat mai intai relatia \( bc(p-a)+pxy=bc(x+y)\ (*) \) , unde \( AD=x \) si \( AE=y \) . Restul se reduce
la identitatea usoara \( \frac {(p-b)x}{c-x}+\frac {(p-c)y}{b-y}=p-a \) conditionata de relatia \( (*) \) .

Intr-adevar, se observa ca semiperimetrul si raza cercului \( A \)-exinscris pentru triunghiul \( ADE \) sunt \( p-a \) respectiv \( r \) .

Se observa ca \( DE=[(p-a)-x]+[(p-a)-y]=2(p-a)-(x+y) \) si \( p-a-DE=(x+y)-(p-a) \) . Asadar

\( \frac {xy}{bc}=\frac {[ADE]}{[ABC]}=\frac {r\cdot [(x+y)-(p-a)]}{pr}=\frac {(x+y)-(p-a)}{p} \) , adica \( (*) \) . Restu-i doar o verificare !

Remarca. Am aplicat relatia cunoscuta \( S=(p-a)r_a \) in triunghiul standard \( ABC \) . In cazul nostru

pentru \( \triangle ADE \) avem \( p-a\ :=\ (p-a)-DE=(p-a)-(p-a-x)-(p-a-y)=(x+y)-(p-a) \) .

Problema propusa. Sa se determine extremele sumei \( AD+AE \) , implicit ale sumei \( x+y \) .

Tare slabut acest Site. Toti posteaza, putini rezolva. Nici nu am ce sa citesc, macar acolo o nedumerire,
un comentariu. Parca toti asteapta "pomana" ... Daca nu se schimba ceva la acest site, va muri de "inanitie".