mateforum.ro

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat sa avem \( \int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2} \). Demonstrati ca exista \( x_{0}\in (0,1) \) astfel incat \( f(x_{0})=x_{0} \).

ONM 1977

Fie \( F \) o primitiva al lui \( f \). Avem ca \( \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{2} \). Fie \( g(x)=F(x)-\frac{x^2}{2} \). Avem ca \( g(1)=g(0) \) de unde din teorema lui Rolle avem ca exista \( x_{0} \) astfel incat \( g'(x_{0})=0 \) de unde \( f(x_{0})=x_{0} \).

Cred ca poti evita teorema lui Role. Este destul de clar ca \( \int_{0}^{1}(f(x)-x) dx=0 \), iar aici poti aplica teorema de medie.

Da Valentin, ai dreptate. Se poate evita teorema lui Rolle, folosind prima teorema de medie, dar sa stii ca teorema de medie se poate demonstra si folosind teorema lui Rolle.