mateforum.ro

Fie \( P \) mijlocul laturii \( [AB] \) a paralelogramului \( ABCD \). Perpendiculara in \( P \) pe \( AB \) intersecteaza \( BD \) si \( AC \) in \( M \), respectiv \( N \). Daca \( O \) este centrul paralelogramului si \( OH\perp AB\ (H\in AB) \), aratati ca \( \frac{1}{PM}+\frac{1}{PN}=\frac{2}{OH} \).

Probleme date la olimpiade, RMT 1/1998

De ce \( O \) trebuie sa fie neaparat centrul paralelogramului si nu orice punct de pe dreapta suport a diagonalei \( [AC] \) ?
De ce \( OH \) si \( \overline {PMN} \) trebuie sa fie perpendiculare pe \( AB \) si nu paralele la o directie data ?
De ce mai am nevoie de punctul \( C \) ? Oare pentru a-l defini pe \( O \) ?!

Fie \( P \) mijlocul laturii \( [AB] \) in triunghiul \( ABD \) si \( O \) un punct pe dreapta suport a laturii \( [BD] \). Pentru doua drepte paralele \( d_1 \), \( d_2 \) care trec prin \( O \), respectiv \( P \) notam \( H\in d_1\cap AB \) si \( M\in d_2\cap BD \), \( N\in d_2\cap AO \). Sa se arate ca \( \frac{1}{PM}+\frac{1}{PN}=\frac{2}{OH} \).