mateforum.ro

Fie \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) o functie cu proprietatea \( f(f(x))=[x] \) , \( (\forall)x\in\mathbb{R} \).
Sa se arate ca exista \( a,b\in\mathbb{R} \) astfel incat \( |f(a)-f(b)|\ge|\sin a-\sin b|>0 \)

Concursul Gh. Titeica

Punand \( x:=f(x) \) obtinem \( f(f(f(x)))=[f(x)] \)
Aplicand \( f \) obtinem \( f(f(f(x)))=f([x]) \)
De aici rezulta ca \( f(n) \) este intreg pentru orice intreg \( n \).
Daca pentru orice \( a,b \) reale am avea \( |f(a)-f(b)|<|sin{a}-sin{b}| \), cum \( |sin{a}-sin{b}|=2|sin{\frac{a-b}{2}}cos{\frac{a+b}{2}}|<|a-b|[\tex], deoarece sin{x}<x,\ x\in(0,\frac{\pi}{2}) \), ar rezulta ca f este contractie si ca urmare f constanta pe \( \mathbb{Z} \), fals.