mateforum.ro

Fie functiile \( f,g,h : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), unde f este derivabila, g si h sunt monotone, iar \( f^{\prime}=f+g+h. \)
Demonstrati ca multimea punctelor de discontinuitate ale functiei g coincide cu multimea punctelor de discontinuitate ale functiei h.

Deoarece \( g,h \) sunt monotone, au cel mult discontinuitati de speta I. Daca \( g \) ar avea o discontinuitate unde \( h \) e continua, aceasta ar fi discontinuitate de speta I pentru \( f+g+h \) care are proprietatea Darboux (si nu poate avea astfel de discontinuitati), fiind derivata unei functii. Contradictie. Analog se arata ca nici \( h \) nu poate avea o discontinuitate in care \( g \) este continua. Astfel multimea discontinuitatilor lui \( h \) coincide cu cea a discontinuitatilor lui \( g \).

P.S. A fost la nationala asta?

Pe o rezolvare analoaga se lua la prima corectare 1 punct, iar la contestatii 6 .

De ce 6 puncte?

Ma rog, eu m-am dus pe urmatoarea idee:

\( f^{\prime} - f \) este derivata unei functii continue deci are Darboux. Apoi, in cealalta parte, au derivate laterale finite, etc... Mi s-a zis ca eu nu pot folosi in a XI-a faptul ca \( f \) continua implica \( f \) admite primitiva. Au zis ca imi dau 7 puncte daca demonstrez asta. E ok, oricum sunt multumit

Nu imi vine sa cred... Altii folosesc la baraje chestii care nici nu se fac in liceu si iau punctaje maxime.... Nu e corect.