mateforum.ro

Problema 1:
Demonstrati ca numerele \( 5^{2009} \) si \( 2^{2010} \) incep cu aceeasi cifra. (Se da: \( \lg{2}=0,301 \)). (Dorel Mihet).

Problema 2:
Consideram multimea: \( A=\{0,1,2,\dots,n\} \)si fie \( S_n \) multimea:
\( \{(a_1,a_2,a_3)|a_1,a_2,a_3\in A\mbox{ cu proprietatea }|a_1-a_2|=|a_2-a_3|\} \).
Sa se determine numarul elementelor multimii \( S_n \). (Marian Muresan).

Problema 3:
Se da sirul \( (a_n)_{n\ge 1} \) definit prin \( a_1=1 \mbox{ si } a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3a_n^2-2}, \mbox{ pentru: } n\ge 1 \).
Sa se arate ca:
a) \( a_n\in \mathbb{N}, \ (\forall)n\ge 1 \).
b) \( a_{n-1}a_{n+1} \mbox{ nu este patrat perfect, }(\forall)n\ge 1 \). (Dorin Andrica)

Problema 4:
Aratati ca daca: \( z^2+\frac{1}{z^2}\in[-2,2],\ z\in\mathbb{C} \), atunci \( z^n+\frac{1}{z^n}\in[-2,2] \). (GM, nr.12/2008, problema 26081).

Problema 4: http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=3338
Sau o alta rezolvare:
\( z^p+\frac{1}{z^p} \in [-2,2] \Rightarrow \) exista \( a \in [0, \pi] \) astfel incat \( z^p+ \frac{1}{z^p} =2 \cos a \).
Rezolvam ecuatia de gradul doi si obtinem \( z= \cos(\frac{a+2k \pi}{p}) + i \sin(\frac{a+2k \pi}{p}) \) sau \( z= \cos(\frac{a+2k \pi}{p}) - i \sin(\frac{a+2k \pi}{p}) \)
Apoi in ambele cazuri vom obtine ca
\( z^n+ \frac{1}{z^n}=2 \cos( \frac{n(a+2k \pi)}{p}) \in [-2,2]. \)

Problema 3
a) Avem ca \( a_{n+1}-2a_{n}=\sqrt{3a_{n}^{2}-2}\Leftrightarrow a_{n+1}^2 - 4a_{n}a_{n+1}+a_{n}^2=-2 (\forall)n\in\mathbb{N} \). Scriem relatia si pt \( n\to n-1 \)si scazand aceste doua relatii vom obtine ca \( (a_{n+1}-a_{n-1})(a_{n+1}-4a_{n}+a_{n-1})=0 (\forall)n\in\mathbb{N} \). Se arata usor ca prima paranteza nu poate fi 0 (caci sirul este strict crescator) si obtinem ca \( a_{n+1}-4a_{n}+a_{n-1}=0(\forall)n\in\mathbb{N} \). Si cum \( a_{1}\in\mathbb{N} \)prin inductie se arata ca \( a_{n}\in\mathbb{N}(\forall)n\in\mathbb{N} \).
b) Rezolvam recurenta de ordinul 2 obtinuta la punctul a) si obtinem ca \( a_{n}=\frac{(3-\sqrt{3})(2-sqrt{3})^{n}}{18}+\frac{(3+\sqrt{3})(2+sqrt{3})^{n}}{18}(\forall)n\in\mathbb{N} \).
Pt \( n\to n-1 \) si \( n\to n+1 \) in ultima relatie si inmultind cele doua relatii vom obtine ca \( a_{n+1}\cdot a_{n-1}=a_{n}^2+1 \) care nu este patrat perfect.
Nu garantez corectitudinea calculelor insa ideea aceasta este.

Problema 2
Cazul 1. Daca \( a_{2} \) este cel mai mic termen atunci:
daca \( a_{2}<a_{1}\leq a_{3} \) avem ca \( a_{1}=a_{3} \) adica \( n+n-1+\dots +1=\frac{n(n+1)}{2} \) posibilitati.
Cazul 2. Daca \( a_{2} \) este cel mai mare termen avem ca \( a_{1}=a_{3} \) si avem tot \( n+n-1+\dots +1=\frac{n(n+1)}{2} \)posibilitati.
Cazul 3. Daca \( a_{1}<a_{2}<a_{3} \) atunci avem ca \( a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \) si in total avem \( \sum_{k=1}^{\[\frac{n}{2}\]}k=\frac{\[\frac{n}{2}\]\cdot (\[\frac{n}{2}\]+1)}{2} \) elemente. Tot atatea elemente avem daca \( a_{3}<a_{2}<a_{1} \).
Cazul 4. Daca \( a_{1}=a_{2}=a_{3} \) avem \( n+1 \) posibilitati.
Astfel insumand aceste elemente vom obtine numarul de elemente adica \( (n+1)^{2} + \[\frac{n}{2}\]\cdot(\[\frac{n}{2}\]+1) \) elemente.