Concursul Interjudetean Memorial ,,Preda Filofteia"
Posted: Sat Apr 04, 2009 1:23 pm
1. a) Fie \( a>0,b>0 \) doua numere reale. Sa se arate ca :
\( \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{{(x+y)}^2}{a+b};x,y \in R. \)
b) Daca \( a,b,c>1;a,b,c \in R \), sa se arate ca :
\( \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12. \)
2. Fie \( {(a_n)}_{n\ge1} \)o progresie aritmetica in care primul termen si ratia sunt numere naturale si \( {(b_n)}_{n\ge1} \) o progresie geometrica cu termeni nenuli.
a) Demonstrati ca \( {({b_a}_n)}_{n\ge1} \) este o progresie geometrica;
b) In ce conditii \( {({b_n}^{a_n})}_{n\ge1} \) este o progresie geometrica?
3. Se considera triunghiul \( ABC \) si punctele \( D,Q,E \) cu proprietatile \( D\in(AB),Q\in(CD),C\in(BE) \) si \( \frac{AB}{AD} = \frac{CQ}{QD}= \frac{BE}{BC}. \) Se mai considera si punctele \( F \) si \( M \) asa incat \( CE||DF\ ,\ DC||FE \) si \( M\in(DE). \)Sa se arate ca \( Q,M,F \) sunt coliniare daca si numai daca \( 2+\frac{AB}{AD}=\frac{DE}{DM} \).
4. Determinati toate functiile \( f:A \rightarrow A \) stiind ca :
\( f(x+yf(x))=f(x)+f(yf(x)) \),oricare ar fi \( x,y \in A \),
in cazurile \( A=[0; \infty ) \) si \( A=(0; \infty ) \).
\( \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{{(x+y)}^2}{a+b};x,y \in R. \)
b) Daca \( a,b,c>1;a,b,c \in R \), sa se arate ca :
\( \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12. \)
2. Fie \( {(a_n)}_{n\ge1} \)o progresie aritmetica in care primul termen si ratia sunt numere naturale si \( {(b_n)}_{n\ge1} \) o progresie geometrica cu termeni nenuli.
a) Demonstrati ca \( {({b_a}_n)}_{n\ge1} \) este o progresie geometrica;
b) In ce conditii \( {({b_n}^{a_n})}_{n\ge1} \) este o progresie geometrica?
3. Se considera triunghiul \( ABC \) si punctele \( D,Q,E \) cu proprietatile \( D\in(AB),Q\in(CD),C\in(BE) \) si \( \frac{AB}{AD} = \frac{CQ}{QD}= \frac{BE}{BC}. \) Se mai considera si punctele \( F \) si \( M \) asa incat \( CE||DF\ ,\ DC||FE \) si \( M\in(DE). \)Sa se arate ca \( Q,M,F \) sunt coliniare daca si numai daca \( 2+\frac{AB}{AD}=\frac{DE}{DM} \).
4. Determinati toate functiile \( f:A \rightarrow A \) stiind ca :
\( f(x+yf(x))=f(x)+f(yf(x)) \),oricare ar fi \( x,y \in A \),
in cazurile \( A=[0; \infty ) \) si \( A=(0; \infty ) \).