Traian Lalescu 2009, problema 4
Posted: Sat Apr 04, 2009 10:03 am
Fie \( f:[0,\infty) \to [0,\infty) \), cu proprietatea:
\( |f(x+y)-f(x)| \leq \ln\left( \frac{1+x+y}{1+x}\right),\forall x,y \in [0,\infty) \).
a) Determinati \( m\in \mathbb{N}^* \) astfel incat multimea valorilor lui \( f \) sa aiba exact \( m \) elemente.
b) Sa se arate ca urmatorul sir recurent:
\( x_{n+1}=\frac{x_n+f(x_n)}{2} \), \( n\geq 0 \),
are limita pentru orice \( x_0 \geq 0 \).
V. Radu
\( |f(x+y)-f(x)| \leq \ln\left( \frac{1+x+y}{1+x}\right),\forall x,y \in [0,\infty) \).
a) Determinati \( m\in \mathbb{N}^* \) astfel incat multimea valorilor lui \( f \) sa aiba exact \( m \) elemente.
b) Sa se arate ca urmatorul sir recurent:
\( x_{n+1}=\frac{x_n+f(x_n)}{2} \), \( n\geq 0 \),
are limita pentru orice \( x_0 \geq 0 \).
V. Radu