mateforum.ro

Fie \( a,b,c,d\in \mathbb{R}_+ \) astfel incat : \( \frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+d^4}=1 \) . Sa se arate ca \( abcd\ge 3 \) .

Relatia din enunt este echivalenta cu:

\( 3+2\sum a^4+\sum a^4b^4=a^4b^4c^4d^4, \) unde \( \sum a^4=a^4+b^4+c^4+d^4 \) si \( \sum a^4b^4=a^4b^4+a^4c^4+a^4d^4+b^4c^4+b^4d^4+c^4d^4. \)

Din inegalitatea mediilor vom avea:

\( \sum a^4\geq 4abcd \ \wedge \ \sum a^4b^4\geq 6a^2b^2c^2d^2. \)

Notam \( abcd=k. \) Folosind observatia de mai sus vom avea:

\( k^4\geq 6k^2+8k+3\Longleftrightarrow (k-3)(k^3+3k^2+3k+1)\geq 0\Longleftrightarrow (k-3)(k+1)^3\geq 0. \) Cum \( (k+1)^3>0 \) deducem ca \( k\geq 3 \) adica \( abcd\geq 3. \)

Ca o observatie, asta este inegalitatea data la barajul din Letonia 2002. O alta solutie se bazeaza pe substitutia \( a^2=\tan A, \ A\in (0;\frac{\pi}{2}), \) si relatiile analoage. De aici se observa ca conditia din enunt e echivalenta cu:

\( \sum \cos^2 A=1. \) De aici e usor!

A se vedea urmatorul link.