mateforum.ro

Fie \( p,q \) numere prime, \( p\neq q \) si \( q\neq 2 \) si \( (G,\,\cdot) \) un grup de ordin \( pq \). Daca \( G \) admite un unic subgrup \( H \) de ordin \( p \) si un unic subgrup \( K \) de ordin \( q \) sa se demonstreze ca exista \( x,y\in G-K, x\neq y \) asfel incat \( x^q=y^q \).

H fiind singurul subgrup de ordin p din G rezulta ca este normal (altfel un conjugat al lui ar fi un subgrup diferit de H si de ordin p ceea ce ar contrazice unicitatea lui H). Analog cu K.
Acum rezulta ca KH este subgrup in G si cum are pq elemente rezulta ca este chiar G, dar KH este izomorf cu KxH (asta e usor) de unde concluzia.

De fapt pentru orice \( x\in H \) si \( k\in K \) avem ca \( (xk)^q=x^q \), deoarece grupul \( G \) rezulta ca este abelian (chiar ciclic). Mai mult, \( x,\, xk\in G-K \) daca \( x\neq e \).