mateforum.ro

Fie \( f=X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\ldots+a_1X+p \) un polinom cu coeficienti intregi unde \( p\geq3 \) este un numar prim.
Stiind ca radaciniile lui \( f \) reprezinta in planul complex afixele varfurilor unui poligon regulat cu p laturi, sa se demostreze ca f este ireductibil in inelul \( \mathbb{Q}[X] \)

Ioan Baetu, GM

Polinomul are coeficienti intregi, deci oricare ar fi o radacina a lui \( f \) si conjugata sa este tot o radacina a lui \( f \). Prin urmare poligonul determinat de radacini este simetric fata de axa \( Ox \) si centrul sau este pe axa de simetrie.

Acum, suma radacinilor este \( -a_{p-1} \) care este numar intreg deci afixul centrului este \( \frac{-a_{p-1}}{p} \) care este numar rational si il notam cu \( q \).

Luam \( g(X)=f(X-q) \), de unde \( g \) este un polinom cu coeficienti rationali si \( f \) este ireductibil daca si numai daca \( g \) este ireductibil (peste \( \mathbb{Q}) \).

\( q \) fiind centrul poligonului, rezulta ca radacinile lui \( g \) sunt afixele unui poligon regulat cu centrul in origine si cu unul dintre varfuri pe axa \( Ox \). Atunci radacinile sunt de forma \( a \varepsilon^k,\ k=0..p-1 \) unde \( a \) este radacina reala a polinomului \( g \) si \( \varepsilon \) este o radacina primitiva a unitatii.

Deci \( g(X)=t(X-a)(...)(X-a\varepsilon^{p-1})=t{a^p}\prod (\frac{X}{a}-\varepsilon^k)=ta^p (\left(\frac{X}{a}\right)^p-1)=t(X^p-a^p) \).

E prea tarziu, asa ca o continui altadata...