mateforum.ro

Fie \( a\in\mathbb{R} \) si multimile:
\( A=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ \left|x+y=a\right.\right\} \),
\( B=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\left|x^{3}+y^{3}<a\right.\right\} \).
Sa se determine valorile lui \( a \) pentru care \( A\cap B=\empty \).

Romeo Ilie, O.N.M. 1998

\( A\cap B=\empty \) daca si numai daca oricare ar fi x,y reale cu \( x+y=a \) rezulta \( x^3+y^3\ge a \), adica inlocuind pe y cu a-x obtinem \( 3ax^2-3a^2x+a^3-a\ge 0 \), \( (\forall)x\in \mathbb{R} \)