O.J.M. Problema 4
Posted: Thu Mar 12, 2009 12:36 pm
Remarca. Cu ani in urma, profesorul Marcel Chirita a propus la O.J.M. urmatoarea problema :\( \odot\ \ \) Functia \( \left\|\ \begin{array}{c}
F\ :\ \mathbb R\ \rightarrow\ R\\\\\\\\
F(x)=2[x]-\cos\left(3\pi\{x\}\right)\end{array}\ \right\| \) este continua si \( (\forall )\ y\in \mathbb R \) \( \mathrm{\ ,\ } \) \( F(x)=y \) are exact trei zerouri.
\( \odot\ \ \)\( (\forall )\ k\in 2\mathbb N^* \) \( \mathrm{non}\ (\exists )\ f\in\mathrm C\ ,\ f\ :\ \mathbb R \ \rightarrow\ \mathbb R \) ca \( (\forall )\ y\in\mathrm{Im}f \) \( \mathrm{\ ,\ } \) \( f(x)=y \) sa aiba exact \( k \) zerouri.
Vezi exercitiul \( \mathrm {8.3}^* \), pagina \( \mathrm{439} \) (cu solutia in detaliu la pagina \( \mathrm{477} \) ) din carteaSa se arate ca nu exista functii continue \( f\ :\ \mathbb R \ \rightarrow\ \mathbb R \) astfel
incat \( (\forall )\ y\in\mathrm{Im}f \) ecuatia \( f(x)=y \) sa aiba exact \( 2 \) zerouri.
Analiza Matematica pentru clasa a XI - a (teorie, exercitii si probleme) din Editura TEORA, 1999.
Indicatie. Se observa ca \( (\forall )\ x\in\mathbb R \) avem \( F(x+1)=F(x)+2 \) si restrictia \( F_0 \) a functiei \( F \) pe \( [0,1] \) este
\( F_0(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
-1 & \mathrm{,} & x=0\\\\\\\\
-\cos(3\pi x) & \mathrm{,} & 0<x<1\\\\\\\\
1 & \mathrm{,} & x=1\end{array}\right\| \) cu evolutia \( \overline{\underline{\left\|\ \begin{array}{c||cccccccc||}
x & 0 & & \frac 13 & & \frac 23 & & 1& \\\\\\\\
\hline
& & & 1 & & & & 1 & \\\\\\\\\
F(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \\\\\\\\
& -1 & & & & -1 & & & & \end{array}\ \right\|}} \)
Pentru orice \( p\in\mathbb Z \) , graficul restrictiei \( F_{p+1} \) a functiei \( F \) pe \( [\ p+1\ ,\ p+2\ ] \) este translatia graficului
restrictiei \( F_p \) a functiei \( F \) pe \( [\ p\ ,\ p+1\ ] \) de vector \( \vec {OA} \), unde \( A(1,2) \) si \( F_{p+1}(p+1)=F_p(p+1)\ . \)