mateforum.ro

Sa se arate ca daca intr-un triunghi dreptunghic lungimile catetelor sunt numere naturale, iar lungimea ipotenuzei este numar prim, atunci unghiurile ascutite nu pot fi multiplii rationali ai lui \( \pi \).

Nu m-am gandit si nici nu stiu daca exista vreo demonstratie imediata a faptului ca daca \( \tan{q\pi} \in Q \), \( q \in \mathbb{Q} \), atunci \( \tan{q\pi} \in \left\{-1, 0, 1\right\} \). Singura pe care o stiu, probabil clasica si nu foarte complicata, este folosind niste notiuni despre radacinile primitive ale unitatii.

Cu proprietatea de mai sus, putem demonstra astfel un rezultat mai general, si anume, pentru orice triunghi dreptunghi cu laturi numere naturale, unghiurile ascutite nu sunt multipli rationali de \( \pi \). (Deci nu e necesar ca lungimea ipotenuzei sa fie nr. prim.)

Din nou, este adevarat, cf. topicului acesta.