bgd wrote:din nou banal.
Cred ca anul asta la a-10-a s-a batut recordul celor mai simple subiecte din istoria olimpiadei.Localele din multe judete au fost mult mai grele.
Pe sursa:
rezultate Galati.
Pe scurt: legat de P3, punctul (b) (si anume ca cealalta solutie, cand
\( f(x) = 3^x - (x + 2) \) trece prin
\( 0 \) de la
\( -2 \) la
\( -1 \), este irationala) era o chestiune relativ simpla de teoria numerelor, dar din pacate
fara nicio legatura cu clasa X-a. Surprinzator, P4 - clasica nu prea a fost pe placul elevilor; iar la P2 pare ca, intr-adevar, singura solutie este cea care urmeaza, iar problema din GM putea sa fie confruntata cu altele de catre elevii respectivi.
Solutia problemei. Pentru
\( |z_1| = |z_2| = |z_3| = r \),
\( r^3 = 1 \) deci
\( r = 1 \). Prin conjugare, si din relatia
\( \overline{z_k} = 1/z_k \),
\( 1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3 = 1 \),
\( \sum z_1z_2 = z_1z_2z_3 = 1 \).
Fie
\( f(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) \in \mathbb{C}[z] \). Din relatiile obtinute,
\( f(z) = z^3 - z^2 + z - 1 = (z - 1)(z + i)(z - i) \),
\( \bigl\{z_1, z_2, z_3\bigr\} = \{1, +i, -i\} \),
ceea ce verifica relatiile date.
Observatie. Fac trimitere urgenta la
asta: desi taiata din programa, considerarea obiectelor tip sume elementare/sume de puteri se dovedeste eficace in probleme de tip "simetric", printre altele si cateva subiecte de concurs din ultimii ani, inclusiv cazul de fata.
