mateforum.ro

Numerele naturale a si b verifica relatia
\( (a^2 - 9b^2)^2 - 33b = 16 \) (1)
a) Sa se arate ca \( |a - 3b| \geq 1 \)
b) Sa se determine ca toate perechile de numere naturale \( (a,b) \) care satisfac relatia (1).

a) Tot ce trebuie sa faci e sa demonstrezi ca a nu este egal cu 3b (fiind naturale) si se observa ca a nu poate fi multiplu de 3.
b) Eu am demonstrat ca modulul poate avea doar valoarea 1 si de aici am luat pe cazuri a>3b, 3b>a si ecuatii de gradul 2 cu delta patrat. Am pierdut din pacate valoarea modului 2, unde se mai gasea o solutie...

La a) mie mai simplu mi se parea sa folosesc metoda presupunerii prin absurd.

Presupunem ca \( |a-3b| < 1 \) (1).
Stim ca \( |a-3b| \geq 0 \) (2)
Din (1) si (2) rezulta ca \( |a-3b| = 0 \Rightarrow a-3b=0 \Rightarrow a=3b \Rightarrow a^2 = 9b^2 \Rightarrow a^2 - 9b^2 = 0 \),
deci \( 0^2 - 33b = 16 \Rightarrow -33b = 16 \Rightarrow b= -\frac{33}{16} \Rightarrow \) b negativ. Contradictie \( \Rightarrow \) presupunerea e falsa \( \Rightarrow |a-3b| \geq 1 \).