mateforum.ro

Fie \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) o functie continua cu proprietatea ca \( f^3(x)+f(x)\geq x, \forall x \in \mathbb{R}. \)
Demonstrati ca \( \int_0^2f(x)dx\geq\frac{5}{4} \)

Cristinel Mortici, OJM Constanta 1997

Consideri functia \( g(x)=x^3+x \). Atunci din ipoteza \( g(f(x)) \geq x \).
\( g \) este bijectie, deci poti sa iei \( g^{-1} \). In continuare \( f(x)\geq g^{-1}(x) \) si apoi integrezi.