mateforum.ro

Pentru orice numar natural \( n\ge1 \) se noteaza \( f(n) = 3n(n+1)+ 1. \)

a) Aratati ca numarul \( a = f(1) + f(2) + ... + f(2008) \) se divide cu 2008.

b) Demonstrati ca pentru orice \( n \in N \) si orice \( k \in N* \) suma \( S = f(n+1) + f(n+2) + ... + f(n+k) \)
este divizibila cu k.

Nu este o greseala la punctul b) ? Folosindu-ne de cazul particular de la a) ar trebui sa aratam ca suma S este divizibila cu n+k .

\( \sum f(i) =n(n^2+4n+2),i=\overline{1,n} \) si de aici e simplu

Deoarece \( f\left(n\right)=\left(n+1\right)^{3}-n^{3} \) avem ca \( \sum_{i=1}^{2008}f\left(i\right)=2009^{3}-1\vdots2008 \) si \( \sum_{i=1}^{k}f\left(n+i\right)=\left(n+k+1\right)^{3}-\left(n+1\right)^{3}\vdots\left(n+k\right) \), ceea ce trebuia aratat.