mateforum.ro

Determinati toate functiile strict crescatoare \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) care verifica conditia \( f(x^2+y^2)=f^2(x)+f(y^2) \) pentru orice \( x,y \in \mathbb{Z} \).

Luind x=y=0 in relatie se obtine \( f(0)=0 \)

Apoi x=1,y=0 , rezulta \( f(1)=1 \)

x=y=1 rezulta

\( f(2)=2 \) s.a.m.d. \( f(2^n)=2^n \) pentru orice n natural.

Apoi deoarece f este strict crescatoare \( f(x)=x \) pentru orice x natural.

Deasemenea luind -x in locul lui x in enunt si scazind din relatia initiala obtinem \( f^2(-x)=f^2(x) \) de unde f(-x)=-f(x) deci

\( f=\mathbb{1}_{\mathbb{Z}} \)