mateforum.ro

La o conferinta participa un numar par de persoane care stau la o masa circulara. Dupa o pauza, persoanele se reaseaza la masa ocupand pozitii diferite(arbitrare). Sa se arate ca exista 2 persoane intre care au ramas acelasi numar de persoane ca in prima asezare.

Presupunem ca persoanele ocupa varfurile unui poligon regulat \( A_0 ... A_{2n-1} \)cu 2n laturi inscris intr-un cerc de centru O, varfurile fiind notate in sens trigonometric. Alegem axa Ox astfel incat sa treaca prim varful \( A_0 \), putem asocia fiecarui varf \( A_k \) nr complex \( z_k \) de argument \( \frac{k\pi}{n} \), \( 0 \leq k\leq2n \). Consideram ca rearanjarea varfurilor poligonului se face prin rotirea fiecarui varf \( A_k \) cu un unghi \( \varphi_k \) de masura \( l_k\cdot \frac{\pi}{n} ( l_k \in N,l_k \cdot \frac{\pi}{n}\leq2\pi) \), in sens trigonometric. Daca doua unghiuri \( \varphi_i, \varphi_j \) sunt egale, concluzia problemei rezulta imediat. In caz contrar rezulta ca unghiurile \( \varphi_k \) parcurg toata multimea \( \{0,\frac{\pi}{n},\frac{2\pi}{n},...,(2n-1)\frac{\pi}{n}\} \). Deoarece dupa rotatie se obtin varfurile aceluiasi poligon regulat, rezulta ca suma unghiurilor de rotatie este un numar real de forma \( 2m\pi \). Deci are loc egalitatea: \( \displaystyle\sum_{k=0}^{2n-1}\varphi_k=\displaystyle\sum_{j=0}^{2n-1}j\cdot\frac{\pi}{n}=\(2n-1\)\pi=2m\pi \).Deci contradictie.
Problema poate fi discutata si in cazul in care n este impar. In acest caz proprietatea nu ramane valabila. Consideram cazul a 5 persoane noate cu numerele 1,2,3,4,5 si permutarea\( \sigma= \)\( 1 2 3 4 5 \choose 1 3 5 2 4 \) se observa ca pentru \( \(i,j\) \) cu \( 1\leq i \leq j \leq 5 \) avem \( j-i\neq\mid\sigma\(j\)-\sigma\(i\)\mid \).
R.P.

Mda,asta-i solutia din "grupele de performanta".
Totusi trebuie justificat mai pe larg aici.

smileyRadu wrote: Deoarece dupa rotatie se obtin varfurile aceluiasi poligon regulat, rezulta ca suma unghiurilor de rotatie este un numar real de forma \( 2m\pi \).

R.P.