mateforum.ro

Ce afirma teorema de convergenta dominata a lui Lebesgue?

Bogdan Cebere wrote:Ce afirma teorema de convergenta dominata a lui Lebesque?

Presupun ca esti inca elev...daca este asa, spune-mi si mie te rog la ce iti trebuie teorema asta sau unde ai dat peste ea ? (intreb doar din curiozitate)

Acum vreo 3, 4 ani parca s-a dat la nationala o limita de integrala in care puteai aplica treaba asta - desigur, iesea in juma' de rand si nu mai era distractiv

Este folosita intr-o culegere in rezolvarea problemei:
Fie \( f:[a,b) \to R \) o functie derivabila cu derivata integrabila Riemann si \( \lambda \in [0,1] \)fixat. Atunci:
\( \lim_{n\to\infty} n\[\int_a^bf(t)dt-\frac{b-a}{n}\(\sum_{k=1}^n{f\(a+(k-\lambda)\frac{b-a}{n} \)} \) \]=(\lambda-\frac{1}{2})(b-a)[f(b)-f(a)]. \)

Sa traducem teoria intr-un limbaj care se poate folosi la liceu:

Daca functiile \( f_n:I \to \mathbb{R} \) (\( I \) interval) sunt intergrabile (functiile integrabile sunt continue aproape peste tot, deci masurabile...) si \( |f_n|\leq g \) unde \( g: I \to \mathbb{R} \) este o functie integrabila cu integrala finita adica \( \int_I g dx <\infty \), atunci daca exista o functie \( f \) astfel incat \( f_n \to f \) aproape peste tot are loc \( \int_I f_n dx\to \int_I f dx \).

Teorema este buna pentru trecerea la limita sub semnul integralei, adica daca functiile \( f_n \) satisfac ipotezele atunci \( \lim_{n\to \infty}\int_I f_n dx = \int_I (\lim_{n \to \infty} f_n) dx \).

Convergenta aproape peste tot este definita astfel:
\( f_n \to f \) a.p.t pe \( I \) daca si numai daca exista o multime de masura Lebesgue nula \( A \) astfel incat oricare ar fi \( x \in I\setminus A \) rezulta \( \lim_{n\to \infty} f_n(x)=f(x) \).

Cele mai importante exemple de multimi de masura Lebesgue nula sunt multimile finite si numarabile.

Teorema asta de Convergenta Dominata a lui Lebesgue este mai tare decat teorema de convergenta pentru un sir de functii care converge uniform, care se face tot in facultate...

Aplicatii:
1. \( \lim_{n\to \infty}\int_I\sin^n x dx=? \), unde \( I \) este orice interval real si se face conventia \( 0\cdot \infty =0 \).
2. \( \lim_{n\to \infty}\int_{\mathbb{R}}f_n( x) dx=? \), unde \( f_n(x)=\frac{2^n \arctan^n x}{\pi^n (1+x^2)} \). (Se poate alege \( g=\frac{1}{1+x^2} \) care e integrabila generalizat pe \( \mathbb{R} \))

Ar fi interesanta o demonstratie la nivel de liceu pentru teorema asta a lui Lebesgue. Nu stiu daca exista asa ceva...