mateforum.ro

Fie paralelipipedul dreptunghic \( ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} \), iar \( M,N \) picioarele perpendicularelor coborate din \( D^{\prime} \), respectiv \( B \) pe \( B^{\prime}D \).
a) Demonstrati ca patrulaterul \( BND^{\prime}M \) este paralelogram;
b) Demonstrati ca \( MN=\frac{1}{3}B^{\prime}D \) daca si numai daca \( CC^{\prime2}=2\left(AB^{2}+BC^{2}\right) \).

a) Evident.

b) Notam Ab=a ,BC=b , CC'=c

1) Daca \( a^2+b^2\ge c^2 \) atunci ordinea este B'-N-M-D.

si MN=B'M-B'N=\( \frac{a^2+b^2-c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{3}B^{\prime}D=\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\Longleftrightarrow a^2+b^2=2c^2 \)

2 Daca \( a^2+b^2< c^2 \) atunci ordinea este B'-M-N-D.

si atunci analog MN=\( \frac{1}{3} \)B'D \( \Longleftrightarrow 2(a^2+b^2)=c^2 \)