mateforum.ro

Numerele naturale impare consecutive sunt grupate in felul urmator: \( \left\{ 1\right\} ;\left\{ 3,5\right\} ;\left\{ 7,9,11\right\} ;\left\{ 13,15,17,19\right\} ;\ldots \) . Gasiti suma numerelor din a \( n \)-a grupa.

In cele n grupe sunt \( 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \) numere.

In primele n-1 grupe sunt \( \frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2} \) numere.

Suma numerelor din a n-a grupa este suma numerelor din cele n grupe minus suma numerelor din primele n-1 grupe.

Folosim identitatea \( 1+3+5+...+(2k-1)=k^2,(\forall) k\in\mathbb{N^{\ast}} \)

Deci suma numerelor din a n-a grupa va fi \( \frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n^2(n-1)^2}{4}=n^3 \)