mateforum.ro

Fie o multime finita \( M\subset\mathbb{R} \) care are cel putin doua elemente. Spunem ca functia \( f \) are proprietatea \( \mathcal{P} \) daca \( f:M\rightarrow M \) si exista \( a\in\mathbb{R}^{*},b\in\mathbb{R} \) cu \( f\left(x\right)=ax+b \).

a) Aratati ca exista cel putin o functie cu proprietatea \( \mathcal{P} \);
b) Aratati ca exista cel mult doua functii cu proprietatea \( \mathcal{P} \);
c) Daca \( M \) are \( 2003 \) elemente cu suma \( 0 \) si daca exista doua functii cu proprietatea \( \mathcal{P} \), aratati ca \( 0 \in M \).

a)\( f:M\rightarrow M \) \( f(x)=x \) verifica cerinta.

b) Daca

\( f(x)=ax+b \) si \( M=\{x_1,x_2,...,x_n\} \) cu \( x_1<x_2<..<x_n \) atunci :

1) Daca \( a>0 \) atunci \( f(x_1)<f(x_2)<...<f(x_n) \) si \( f(x)=x \)

2) Daca \( a<0 \) atunci \( f(x_1)>f(x_2)>...>f(x_n) \) si atunci \( f(x_i)=x_{n+1-i} \) de unde \( f(x)=-x+b ,b=x_1+x_n \) numai daca

\( x_2-x_1=x_3=x_2=...=x_n-x_{n-1} \)

3) Cele doua functii care pot fi definite pe M sunt \( f_1(x)=x \) si \( f_2(x)=-x+b \) cu \( b=x_1+x_{2003} \)

Conform punctului b) \( f(x_i)=x_{n+1-i} \) deci \( \sum {x_i}=\sum {f(x_i)}=0 \) deci \( -\sum {x_i}+2003b=0 , \) \( b=0 \)

Asadar \( f(x)=-x \) de unde \( f(x_{1002})=-x_{1002} \) iar \( f(x_{1002})=x_{2003+1-1002}=x_{1002} \) deci \( x_{1002}=0 \)