mateforum.ro

Fie \( n\in\mathbb{N} , n\ge 2 \) . Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) exista n numere naturale impare \( a_1,a_2,...,a_n \) astfel incat

\( a_1+a_2+...+a_n=a_1a_2...a_n; \)

b) \( 4|n-1 \)

V. Popa, G.M.

\( a)\Longrightarrow b) \)

Este evident ca n este impar, n=2k+1.

Asadar \( (2b_1+1)+(2b_2+1)+...+(2b_{2k+1}+1)=(2b_1+1)(2b_2+1)...(2b_{2k+1}+1) \) si de aici k este par.

\( b)\Longrightarrow a) \)


\( \underbrace{1+1+1+...+1}_{4k-1 \mbox{ ori}} +3+(2k+1)=\underbrace{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1}_{4k-1 \mbox{ ori}} \cdot3\cdot(2k+1) \)