mateforum.ro

Se dau \( \triangle\ ABC \) si \( S \) cu coordonatele baricentrice \( (m,n,p) \) in raport cu \( \triangle \) \( ABC. \)

Consideram punctele \( \left|\ \begin{array}{cccc}
M\in BC & ; & \overline {MB}=x\cdot\overline {MC}\\\\
N\in CA & ; & \overline {NC}=y\cdot\overline {NA}\\\\
P\in AB & ; & \overline {PA}=z\cdot\overline {PB}\end{array}\ \right|\ . \)

Sa se stabileasca relatiile necesare si suficiente intre tripletele ordonate \( (m,n,p) \) si \( (x,y,z) \) astfel
incat paralelele duse prin punctele \( M \), \( N \), \( P \) la dreptele \( AS \), \( BS \), \( CS \) respectiv sa fie concurente.

Vezi aici situatia particulara cand \( S \) este centrul de greutate al triunghiului dat. SUCCES !

Conditia cautata este:

\( \left|\begin{array}{ccc} p+nx &(n+p)x & n+p\\
m+p & m+py & (m+p)y\\
(m+n)z & m+n & n+mz
\end{array}\right|=0. \)
Eu am o solutie pentru aceasta problema, folosind coordonate baricentrice, dar poate vine o solutie din partea unui elev...
Daca nu vine o astfel de solutie intr-un interval de timp rezonabil voi da solutia!

Nu am un link "adevarat", stergeti-l. Si acest mesaj.

Cum n-a venit pana acuma nici o solutie, din partea unui elev (doar si invitatia dl-lui prof. Virgil Nicula le era adresata tot lor), potrivit promisiunii
facute, ma vad obligat sa dau aceasta solutie. Voi reveni, poate in vacanta, cu un breviar teoretic in sectiunea "Intrebari teoretice".

\( \mbox{Reformulez problema, schimband putin notatiile: \\
"Fie ABC un triunghi oarecare si S un punct din planul sau, avand coordonatele baricentrice} (\alpha ;\beta ; \gamma) \mbox{ si punctele: }\\
M\in BC; N\in AC; P\in AB, \mbox{ astfel incat: } \vec{MB}=m.\vec{MC}; \vec{NC}=n.\vec{NA}; \vec{PA}=p.\vec{PB}. \mbox{ Sa se determine ce legatura exista intre numerele (m;n;p) si }\\
(\alpha ; \beta ; \gamma ), \mbox{ pentru ca paralelele duse prin punctele M, N si P in mod respectiv la dreptele SA, SB si SC sa fie concurente?"}
\)
SOLUTIE:
1).\( \mbox{ Dreptele AS; BS si CS, au in coordonate baricentrice ecuatiile: }AS: \ \frac{y}{\beta}=\frac{z}{\gamma};\ BS: \ \frac{x}{\alpha}=\frac{z}{\gamma}; \ CS:\ \frac{x}{\alpha}=\frac{y}{\beta}. \)
2). \( \mbox{Coordonatele punctului de la infinit al dreptei AS sunt solutiile sistemului: } \left{ \begin{array}{c} x+y+z=0 \mbox{(ecuatia dreptei de la infinit)}\\
y=k.\beta \\
z=k.\gamma \end{array} \Rightarrow x=k.(\beta +\gamma); \)
\( \mbox{asa ca ecuatia paralelei duse prin punctul M la dreapta AS este urmatoarea: }\left| \begin{array}{ccc}x&y&z\\
0&1&{-m}\\
{-(\beta +\gamma)}&\beta &\gamma \end{array}\right|=0\Leftrightarrow (\gamma+\beta m)x+(\beta +\gamma)my+(\beta +\gamma )z=0.\ (1)\\
\mbox{ In mod analog gasim ca ecuatia paralelei duse prin punctul N la dreapta BS este: } (\alpha +\gamma)x+(\alpha+n\gamma)+(\alpha +\gamma)nz=0; \ (2)\\
\mbox{iar ecuatia paralelei duse prin punctul P la dreapta CS este: } (\alpha +\beta)px+(\alpha+\beta)y+(\beta+\alpha p)z=0. \ (3)
\)
3). \( \mbox{Conditia ca dreptele de ecuatii (1), (2) si (3) sa fie concurente, revine acum la: } \left| \begin{array}{ccc} {\gamma+\beta m}&{(\beta +\gamma)m}&{\beta +\gamma}\\
{\alpha +\gamma}&{\alpha+n\gamma}&{(\alpha +\gamma)n}\\
{(\alpha +\beta)p}&{\alpha+\beta}&{\beta+\alpha p} \end{array}\right| =0. \)
4). \( \mbox{Pentru a reveni la notatiile d-lui prof. Nicula, in ultima relatie, trebuie sa facem substitutiile: } (\alpha; \beta; \gamma)\rightarrow (m;n;p) \mbox{ si } (m;n;p)\rightarrow(x;y;z). \)