mateforum.ro

Determinati functiile de gradul al doilea \( f(x)=ax^2+bx+c \) ,cu \( f(0) \) intreg si care au proprietatea ca :
\( f(n+\frac{1}{n})>n^2-n+1 \) si \( f(n+\frac{n-1}{n})<n^2+n-1 \),
pentru o infinitate de numere n.

Cristinel Mortici,Lista scurta 2004

Adriana Nistor wrote:Determinati functiile de gradul al doilea \( f(x)=ax^2+bx+c \) ,cu \( f(0) \) intreg si care au proprietatea ca :
\( f(n+\frac{1}{n})>n^2-n+1 \) si \( f(n+\frac{n-1}{n})<n^2+n-1 \),
pentru o infinitate de numere n.

Cristinel Mortici,Lista scurta 2004

Din \( f(n+\frac{1}{n})>n^2-n+1 \) pentru oinfinitate de n rezulta \( a\ge 1 \)

Din \( f(n+\frac{n-1}{n})<n^2+n-1 \) pentru o infinitate de n rezulta \( a\le 1 \)

Asadar a=1.

In continuare analog din prima relatie \( b\ge -1 \) iar din a doua \( b\le -1 \)

Asadar \( b=-1 \)
Pentru c, din prima relatie rezulta \( c\ge -1 \) iar din a doua \( c\le1 \) , asadar \( c\in\{-1,0,1\} \)