mateforum.ro

Fie \( a,b,c \in \mathbb{R} \) a.i. \( [na^3] + [nb^3] + [nc^3] = [3nabc], \forall n \in \mathbb{N} \). Aratati ca \( a=b=c \) sau \( a+b+c=0 \).

Relatia e echivalenta cu \( na^3+nb^3+nc^3-3nabc=\{na^3\}+\{nb^3\}+\{nc^3\}-\{3nabc\} \). Deoarece termenul din membrul drept este marginit, rezulta ca coeficientul lui \( n \) din membrul stang trebuie sa fie 0, adica \( a^3+b^3+c^3-3abc=0 \), de unde puteti trage concluziile cerute.

Sau altfel:

Impartim relatia prin \( n \), trecem la limita cand \( n \to \infty \) si tinem cont de faptul ca pentru orice \( \alpha \) real are loc realatia \( \lim_{n \to \infty}{\frac{[n \cdot \alpha]}{n}} = \alpha \) si obtinem \( a^3+b^3+c^3 = 3abc \), de unde si concluziile finale...