O problema de locala
Posted: Sun Jan 25, 2009 11:11 am
Fie \( f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z} \) astfel incat \( (f(n+1)-f(n))(f(n+1)+f(n)+4)\le0 \)\( \forall n \in\mathbb{N} \).Aratati ca \( f \)nu este injectiva.
Relatia din enunt este echivalenta cu:
\( f^2(n+1)-f^2(n)+4f(n+1)-4f(n)\le 0 \)
Inlocuind pe n cu n-1,n-2,...1,0 si adunind obtinem
\( f^2(n+1)-f^2(0)+4f(n+1)-4f(0)\le 0 \) sau
\( (f(n+1)+2)^2\le(f(0)+2)^2 \) de unde
\( -|f(0)+2|-2\le f(n+1)\le|f(0)+2|+2 \) pentru orice n natural.
Cum intr-un interval marginit de numere se afla un numar finit de intregi rezulta ca f nu este injectiva.