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Sa se rezolve ecuatiile :

\( 1.\ \log_a (a+x)=\log_b(b+x) \), unde \( a>1 \), \( b> 1 \) si \( a\ne b\ . \)

\( 2.\ (a+x)^{\log_ab}-(b+x)^{\log_ba}=b-a \), unde \( a>1 \), \( b>1\ . \)

\( 3.\ \log_{x^2+3x+4}|x+2|=\log_{x^2+5x+9}|x+3|\ . \)

\( 1. \) Presupunem a>b.

\( \log_a (a+x)=\log_b(b+x)=y \) deci

\( x=a^y-a=b^y-b \) sau \( 1=(\frac{b}{a})^y+(a-b)(\frac{1}{a})^y \)

de unde y=1 solutie unica si x=0.

\( 2. \) Notam \( \log_a(a+x)=x_1 \) si \( \log_b(b+x)=x_2 \) si atunci

\( b^{x_1}-a^{x_2}=b-a \) si \( x=a^{x_1}-a=b^{x_2}-b \)

Deci \( b^{x_1}+a^{x_1}=b^{x_2}+a^{x_2} \) si deoarece \( f(x)=b^x+a^x \) e strict crescatoare obtinem \( x_1=x_2 \) si \( \log_a (a+x)=\log_b(b+x) \) si din cazul precedent x=0.