mateforum.ro

Se dau ecuatiile \( x^2-x+1=0 \) de radacini \( x_1 , x_2 \) si \( x^2+x+1=0 \) de radacini \( x_3 , x_4 \) . Sa se determine \( n \in \mathb{N}^* \) astfel incat \( x_1^n+x_2^n=x_3^n+x_4^n \) .

\( x^2-x+1=0 =>x_1^3=-1,x_2^3=-1 \)

\( x^2+x+1=0 =>x_3^3=1,x_4^3=1 \)

pt. \( n=6k \) are loc egalitatea

\( x_1^2+x_2^2=x_1+x_2-2=-1 \).
\( x_3^2+x_4^2=-x_1-x_2-2=-1 \).

Deci pentru 2 e adevarata egalitatea. Pentru toate numerele pare e adevarata. Incercati sa demonstrati asta, si faptul ca pentru numere impare nu e adevarata.

cred ca e mai simplu cum am zis eu ,problema se rezolva mai usor cu materia de clasa a 10 a.(nu stiu cat e materie de clasa a 10a dar in manualul de a 10a sunt multe ex asa la cap. nr complexe)

Degeaba e mai simplu, daca nu e complet. Cand exista un enunt de genul "sa se determine numerele naturale \( n \)" asta inseamna sa le gasesti pe toate. Tu ai gasit doar o parte. Si daca ai fi facut corect, era rezolvata numai o parte din problema. Ca sa gasesti toate numerele naturale cu proprietatea din enunt, trebuie sa arati ca pentru cele pe care le-ai gasit relatia este adevarata, si pentru celelalte nu e adevarata. Atentie la olimpiada, la probleme de acesti tip ...