mateforum.ro

Sa se gaseasca restul impartirii numarului \( N=6^{101}+6^{102}+6^{103}+...+6^{199} \) la 43 .

O fi 37?

nu

Ati facut modificare in textul exercitiului; in loc de \( 6^{198}, \) ati scris \( 6^{199} \) . Astazi !

Scuze, dar trebuia sa semnalati modificarea de text.

In aceasta situatie, restul este usor de aflat.


Astept si alte pareri la \( N \ = \ 6^{101} \ + \ 6^{102} \ + \ 6^{103} \ + \ ... \ + \ 6^{198} \), asa cum a fost scris initial. Sunt curioasa unde am gresit, daca am gresit!

In acel caz e bine . Ai putea sa scrii si rezolvarea?

Stiu , eu am facut modificarea . De aceea am pus si emoticonul acela .

Laurian Filip wrote:In acel caz e bine . Ai putea sa scrii si rezolvarea?

\( \ \ N \ = \ 6^{101} \ + \ 6^{102} \ + \ 6^{103} \ + \ ... \ + \ 6^{198} \)

Deci:

\( N \ = \ ( 6^{101} \ + \ 6^{102} \ + \ 6^{103} \ + \ ... \ + \ 6^{194} \ + \ 6^{195} \ + \ 6^{196}) \ + \ 6^{197} \ + \ 6^{198} \ = \)

\( 6^{101} \ \cdot \ (1 \ + \ 6 \ + \ 6^2 \ + \ ... \ + \ 6^{93} \ + \ 6^{94} \ + \ 6^{95}) \ + \ 6^{197} \ + \ 6^{198} \ = \ 6^{101} \ \cdot \ [(1 \ + \ 6 \ + \ 6^2) \ + \ ... \ + \ 6^{93} \ \cdot \ (1 \ + \ 6 \ + \ 6^2 ) ] \ + \ 6^{195} \ \cdot \ (6^2 \ + \ 6^3) \ = \)

\( 6^{101} \ \cdot \ ( 43 \ + ... + \ 6^{93} \ \cdot \ 43 ) \ + \ 6^{3 \cdot 65} \ \cdot \ 252 \ = \ 6^{101} \ \cdot \ 43 \ \cdot \ (1 \ + \ ... \ + 6^{93}) \ + \ 216^{65} \ \cdot \ 252; \)

\( 6^{101} \ \cdot \ 43 \ \cdot \ ( ... ) \) este divizibil cu \( \ 43 \)

\( 216^{65} \ \cdot \ 252 \ = \ (43 \ \cdot \ 5 \ + \ 1)^{65} \ \cdot \ 252 \ =( \ ... \ + \ 1^{65} ) \ \cdot \ 252 \ = \ ... \ + \ 252 \ = \ ... \ + \ 43 \ \cdot \ 5 \ + \ 37. \)

Restul este \( \ 37 \ \)

Frumos Natalee ... Nu ai mai fost de mult pe aici. La Multi Ani !

Virgil Nicula wrote:Frumos Natalee ... Nu ai mai fost de mult pe aici. La Multi Ani !

Multumesc! Si dvs.: La Multi Ani!

Mai intru, asa, din cand in cand, functie de timp.