mateforum.ro

Fie \( f: (0,1] \to \mathbb{R},\ f(x)=x^x(x\ln x +x) \). Să se arate că \( f \) e integrabilă Lebesgue pe (0,1] şi să se calculeze integrala pe (0,1].


(Am redus-o la a calcula \( \int_{0}^1 x^x {\rm d}x \).... dar nu imi iese mai departe. )

Nu cred că se poate exprima prin funcţii elementare, dar are loc egalitatea interesantă (v. Fihtenholţ):

\( \int_{0}^{1}{x}^{x}{dx}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac{(-1)^{k-1}}{{k}^{k}}} \)

P.S. De ce este atât de linişte pe acest forum?