mateforum.ro

Fie \( f:\mathb{Z}\rightarrow\mathb{Z} \) asfel incat \( f(a+b)\ge f(a)+f(b) \) , \( (\forall) \)\( a;b\in\mathb{Z} \) si \( f(1)=|f(-1)|=1 \) . Sa se arate ca \( f(0)=0 \) si \( f(2)=2 \) .

pt a=1; b=0 \( f(1)\ge f(1)+f(0) => 0\ge f(0)

\)

pt a=1; b=-1 => \( f(0)\ge 1+f(-1) => f(0)\ge 0

\)
Din cele doua relatii rezulta f(0)=0

pt. a=1;b=1 => \( f(2)\ge 2 \)
pt. a=2; b=-1 => \( f(1)\ge f(2)+f(-1) => 2\ge f(2)
\)
La fel rezulta ca f(2)=2

Pentru \( a=0 \) si \( b=1 \) avem
\( f(1)\geq f(0)+f(1) \) \( \to \) \( 0\geq f(0) \) (1)

Pentru \( a=1 \) si \( b=-1 \) avem
\( f(0)\geq f(1) + f(-1) \geq 1 + (-1)=0 \) (2)

Din relatiile (1) si (2) rezulta ca \( f(0)=0 \) si \( f(-1)=-1 \)


pentru \( a=2 \) si \( b=-1 \)
\( f(1)\geq f(2)+f(-1) \) \( \to \) \( 2\geq f(2) \) (3)

Pentru \( a=b=1 \)
\( f(2)\geq 2 \) (4)

Din relatiile (3) si (4) rezulta \( f(2)=2 \)