mateforum.ro

Posted: **Wed Dec 03, 2008 8:41 pm**

Fie bisectoarele \( [BE \) , \( [CF \) in triunghiul \( ABC \) , unde \( E\in (AC) \) si \( F\in (AB) \) . Pentru \( M\in [EF] \)

notam distantele \( x \) , \( y \) , \( z \) de la \( M \) la dreptele \( BC \) , \( CA \) , \( AB \) respectiv. Sa se arate ca \( x = y + z \) .

Generalizare. Fie un triunghi \( ABC \) si doua numere pozitive \( \beta \) , \( \gamma \) . Consideram

punctele \( \left\|\ \begin{array}{c}
F\in (AB)\ ,\ \frac {FA}{FB} = \beta\\\\
E\in (AC)\ ,\ \frac {EA}{EC} = \gamma\end{array}\ \right\| \) . Pentru un punct \( M\in [EF] \) notam distantele

\( x \) , \( y \) , \( z \) de la \( M \) la dreptele \( BC \) , \( CA \) , \( AB \) respectiv. Sa se arate ca \( ax =\frac {by}{\beta} + \frac {cz}{\gamma} \) .

Posted: **Wed Dec 03, 2008 10:56 pm**

Fie u respectiv v distantele de la E respectiv F la dreapta BC. Atunci \( x=\frac{ME}{EF}v+\frac{MF}{EF}u \)

Notand F' respectiv E' picioarele perpendicularelor din F respectiv E pe AC respectiv AB, atunci \( x=\frac{ME}{EF}FF^{\prime}+\frac{MF}{EF}EE^{\prime}=y+z \)

Pentru generalizare procedam la fel cu diferenta ca \( v=\frac{FF^{\prime}b}{{\beta}a} \) si \( u=\frac{EE^{\prime}c}{{\gamma}a} \), aceste relatii fiind obtinute din compararea ariilor triunghiurilor AFC si BFC, respectiv ABE si BCE.

mateforum.ro

x=y+z (geometrie !).

x=y+z (geometrie !).