mateforum.ro

Rezolvati in \( \mathbb{R} \) sistemul :

\( \left\{\begin{array}{rcl}\log_{12}{(x^2-x)}=\log_{4}{y}\\ \log_{12}{(y^2-y)}=\log_{4}{z}\\ \log_{12}{(z^2-z)}=\log_{4}{x}\end{array}\right. \)

Concursul ,,Nicolae Coculescu'' ,2008

din conditiile de existenta ale logaritmilor obtinem
\( x>0,\ x^2-x >0 \) adica \( x>1 \) si analoagele. Atunci functia \( g(x)=x^2-x \) este crescatoare. Logaritmii de puteri supraunitare sunt functii crescatoare, deci \( \log_{12}\circ g \) e functie crescatoare. La fel si \( \log_4 \).
Pentru \( x\geq y\geq z \) se aplica monotonia functiilor de mai sus si se obtine \( x=y=z \). Deci mai avem de rezolvat ecuatia
\( \log_{12}(x^2-x)=\log_4 x \). Echivalent \( \frac{\ln{x}+\ln(x-1)}{\ln 3 +\ln 4}=\frac{\ln x}{\ln 4} \Leftrightarrow \frac{\ln(x-1)}{\ln 3}=\frac{\ln x}{\ln 4} \). De aici se deduce usor ca \( x=4 \).