mateforum.ro

Sa se demonstreze ca in orice triunghi cu notatiile standard, este adevarata inegalitatea:

\( m_{a}m_{b}m_{c}(r_{a}+r_{b}+r_{c})\geq r_{a}r_{b}r_{c}(m_{a}+m_{b}+m_{c}) \).

Solutia I. Ridicam la patrat, si e suficient sa aratam a doua inegalitate din lantul urmator, celelalte fiind evidente:
\( m_a^2m_b^2m_c^2(r_a+r_b+r_c)^2 \ge \) \( 3m_a^2m_b^2m_c^2(r_ar_b+r_br_c+r_cr_a) \stackrel{?}{\ge} \) \( 3r_a^2r_b^2r_c^2(m_a^2+m_b^2+m_c^2) \ge \) \( r_a^2r_b^2r_c^2(m_a+m_b+m_c)^2 \).

Deci avem de aratat
\( m_a^2m_b^2m_c^2(r_ar_b+r_br_c+r_cr_a) \ge 3r_a^2r_b^2r_c^2(m_a^2+m_b^2+m_c^2) \).

Dar utilizand formulele

\( m_a^2 = \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4} \)

\( r_br_c = \frac{S^2}{(p-b)(p-c)} = p(p-a) \)

\( r_a^2r_b^2r_c^2 = p^3(p-a)(p-b)(p-c) \)

\( m_a^2+m_b^2+m_c^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4} \),

se reduce usor la

\( \prod(2v+2w-u) \ge 3(u+v+w)(2\sum(vw) - \sum(u^2)) \),

cu notatia \( u=a^2 \), \( v=b^2 \), \( w=c^2 \).
Aceasta se simplifica la

\( 3\sum_{sym} u^2v \ge \sum(u^3) + 15uvw \).

Acum facem substituia lui Ravi \( a = y + z \), \( b = z + x \), \( c = x + y \), \( x, y, z > 0 \).
Deci \( u = (y+z)^2 \), si celelalte, iar dupa calcule urâte (eu folosesc Mathematica), avem de aratat

\( 2[6,0,0] + 12[5,1,0] + 15[4,1,1] \ge 6[3,2,1] + 3[4,2,0] + 13[3,3,0] + 7[2,2,2] \),

ceea ce se sparge în

\( 2[6,0,0] + 2[4,1,1] \ge 4[5,1,0] \) (Schur de gradul 6), si
\( 16[5,1,0] + 13[4,1,1] \ge 6[3,2,1] + 3[4,2,0] + 13[3,3,0] + 7[2,2,2] \),

rezultand evident din

\( 3[5,1,0] \ge 3[4,2,0] \)
\( 13[5,1,0] \ge 13[3,3,0] \)
\( 6[4,1,1] \ge 6[3,2,1] \)
\( 7[4,1,1] \ge 7[2,2,2] \),

obtinute din Muirhead. Evident, egalul se atinge pentru si numai pentru triunghiul echilateral.
Observatie. Inegalitatea poate fi scrisa estetic sub forma

\( \frac{m_am_bm_c}{m_a+m_b+m_c} \ge \frac{r_ar_br_c}{r_a+r_b+r_c} \).

Se pare ca aceasta nu este nici pe departe o simpla "perla anevoioasa" (poate cum reiese din ceea ce am scris mai sus), fiind în fapt o consecinta a unor rezultate binecunoscute.

Solutia II. Are loc intercalarea:

\( \sum \frac{1}{r_br_c} \ \stackrel{1)}{\ge} \ \frac{\sqrt{3}}{S} \ \stackrel{2)}{\ge} \ \sum \frac{1}{m_bm_c} \),

cu egalitate doar pentru \( a = b = c \).
Demonstratie.
1) Echivalenta cu \( \sum a^2 \ge 4\sqrt{3} \cdot S + \sum (b - c)^2 \), adica inegalitatea Hadwiger-Finsler (de altfel discutata, sub o forma usor diferita, si aici).
2) Vezi topicul corespunzator.