Care sunt conditiile ca o functie sa nu fie marginita?
Posted: Wed Nov 19, 2008 11:15 am
Raspundeti la intrebarea din titlu.
Page 1 of 1
Posted: Wed Nov 19, 2008 1:32 pm
\( f:A\to B\subset \mathbb{R} \) este marginita daca exista \( M>0 \) astfel incat \( |f(x)|\leq M,\ \forall x \in A \).
Posted: Wed Nov 19, 2008 3:53 pm
In majoritatea cartilor este data urmatoarea definitie echivalenta:
\( f:A\to B\subset \mathbb{R} \) este marginita daca exista \( a,\ b\in \mathbb{R} \) astfel incat \( a\le f(x)\leq b,\ \forall x \in A \).
Exemplu: functia \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\frac{1}{x^2+1} \) este marginita, fiindca toate valorile ei sunt cuprinse intre 0 si 1.
Exemplu de functie nemarginita: \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=x^2+x-3 \). Cum aratam ca este nemarginita: vom determina multimea tuturor valorilor pe care le ia \( f(x) \), multime notata cu \( f(\mathbb{R}) \).
Avem: \( y\in f(\mathbb{R}) \) daca si numai daca ecuatia \( f(x)=y \) are cel putin o solutie in domeniul lui \( f \), adica in \( \mathbb{R} \).
ecuatia \( f(x)=0 \) este de gradul 2, deci trebuie pusa conditia \( \Delta \ge 0 \), de unde obtinem: \( y\ge -\frac{13}{4} \), adica \( f(\mathbb{R})=[-\frac{13}{4},\infty) \). Rezulta ca f este nemarginita (superior), fiindca poate lua valori oricat de mari.
Nemarginirea se poate demonstra si prin reducere la absurd.
\( f:A\to B\subset \mathbb{R} \) este marginita daca exista \( a,\ b\in \mathbb{R} \) astfel incat \( a\le f(x)\leq b,\ \forall x \in A \).
Exemplu: functia \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=\frac{1}{x^2+1} \) este marginita, fiindca toate valorile ei sunt cuprinse intre 0 si 1.
Exemplu de functie nemarginita: \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ f(x)=x^2+x-3 \). Cum aratam ca este nemarginita: vom determina multimea tuturor valorilor pe care le ia \( f(x) \), multime notata cu \( f(\mathbb{R}) \).
Avem: \( y\in f(\mathbb{R}) \) daca si numai daca ecuatia \( f(x)=y \) are cel putin o solutie in domeniul lui \( f \), adica in \( \mathbb{R} \).
ecuatia \( f(x)=0 \) este de gradul 2, deci trebuie pusa conditia \( \Delta \ge 0 \), de unde obtinem: \( y\ge -\frac{13}{4} \), adica \( f(\mathbb{R})=[-\frac{13}{4},\infty) \). Rezulta ca f este nemarginita (superior), fiindca poate lua valori oricat de mari.
Nemarginirea se poate demonstra si prin reducere la absurd.
Re: Care sunt conditiile ca o functie sa nu fie marginita?
Posted: Wed Nov 19, 2008 5:15 pm
Dragul meu Alex, nu crezi ca unica ta propozitie din mesaj ar fi trebuit precedata de "Va rog ..." ?!alex2008 wrote:Raspundeti la intrebarea din titlu.
Cei doi remarcabili useri au fost foarte draguti ca ti-au raspuns prompt si la obiect, spre deosebire de mine ...
Tu sti ce inseamna ca o multime de numere reale este marginita ?
Tu sti ce inseamna multimea-imagine \( f(A) \) unei functii \( f:A\rightarrow B \) ?
Tu sti sa negi conjunctia a doua propozitii logice ?
Daca da, atunci functia \( f \) este marginita daca multimea \( f(A) \) este marginita etc ...
Posted: Wed Nov 19, 2008 8:23 pm
Ma scuzati ... 
, inca nu am studiat functiile marginite ... incerc sa studiez materia inainte si nu prea am inteles functia marginita ... , va rog ...
, inca nu am studiat functiile marginite ... incerc sa studiez materia inainte si nu prea am inteles functia marginita ... , va rog ...