mateforum.ro

a) Dem ca \( 2^x>x,\forall x\in R \).
b) Rezolvati ecuatia:
\( 2^x+x=\frac{x}{2^x} \).

Ptr prima se arata intai ca \( 2^n \geq n+1 \) pentru n natural (prin inductie) si apoi se foloseste ca \( 2^x\geq2^{[x]}\geq[x]+1>x \).
In ceea ce priveste ecuatia, se poate scrie \( 2^x=x(2^{-x}-1) \), deci trebuie sa avem \( x(2^{-x}-1)>0 \), dar asta nu e posibil deoarece functia \( 2^{-x} \) e strict descrescatoare iar inegalitatea precedenta ar insemna \( (x-0)(2^{-x}-2^{-0})>0 \) (raportul de variatie trebuie sa fie pozitiv, contradictie).