mateforum.ro

Fie D un punct pe latura BC a triunghiului ABC si fie \( O_1 \) si \( O_2 \) centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABD, respectiv ADC. Mediatoarea segmentului AC taie dreapta \( AO_1 \) in E, iar mediatorea laturii Ab taie dreapta \( AO_2 \) in F. Demonstrati ca bisectoarele interioare ale unghiurilor \( O_1EO_2 \) si \( O_1FO_2 \) sunt perpendiculare.

Problema 2, Vranceanu-Procopiu 2008

Indicatii:
1) O metoda ar fi explicitarea tuturor unghiurilor.
2) O alta metoda ar fi sa observam ca avem aceeasi configuratie ca in problema:
Daca ABCD este un patrulater inscriptibil, cu laturile neparalele, atunci daca notam cu E,F intersectiile laturilor neparalele AB, CD si AD, BC, bisectoarele unghiurilor AEC si AFB sunt perpendiculare. O rezolvare frumoasa si scurta se poate da daca exprimam unghiurile ca diferenta de arce.

Fie \( O \) centrul cercului circumscris triunghiului \( ABC \).
Patrulaterul \( AO_1OO_2 \)(vezi. Culegerea de PROBLEME a lui Titeica, problema 157) si se aplica T. din obs.2 a lui Beniamin Bogosel.

Sunt cunoscute urmatoarele rezultate:
Fie \( ABCD \) un patrulater convex in care: \( \{E\}=AB\cap CD; \ \{F\}=AD\cap BC \) si punctele: \( M\in [AB], \ N\in [BC], \ P\in [CD], \ Q\in [DA] \);
sunt a.i. sa avem: \( \frac{|MA|}{|MB|}=\frac{|PD|}{|PC|}=\frac{|AD|}{|BC|} \) si \( \frac{|NB|}{|NC|}=\frac{|QA|}{|QD|}=\frac{|AB|}{|CD|}. \)
Urmatoarele 3 afirmatii sunt echivalente:
(i). Patrulaterul \( ABCD \) este inscriptibil;
(ii). Bisectoarele unghiurilor \( \angle{AED} \) si \( \angle{AFB} \) sunt perpendiculare;
(iii). \( MP\perp NQ. \)
Demonstrati echivalenta acestor proprietati!