mateforum.ro

Aratati ca \( 2^n>n^3 \), pentru orice numar natural \( n\ge10 \).

Eu am facut-o intr-un fel, cu doua inductii, dar nu-mi prea place rezolvarea. A doua inductie am folosit-o ca sa arat ca \( 2n^3>(n+1)^3 \).

Pentru a arata ca\( 2n^3>(n+1)^3 \) , este suficient sa aratam ca\( n(\sqrt[3]{2}-1)>1 \).Deoarece \( \sqrt[3]{2}-1>0 \) rezulta ca functia \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(\sqrt[3]{2}-1)x \) este strict crescatoare.Deoarece \( f(10)>1 \) totul e clar

din newton, \( 2^n>C_n^4+C_n^5+C_n^{n-5}+C_n^{n-4}>4C_n^4=\frac{n(n-3)(n-2)(n-1)}{6} \)

\( f(n)=\frac{n(n-3)(n-2)(n-1)}{6n^3}=\frac{(1-\frac{3}{n})(1-\frac{2}{n})(n-1)}{6} \) este strict crescatoare.

cum \( f(12)>1 \) rezulta ca pt \( n\geq 12 \) , \( f(n)>1 \)
Luand si cazurile \( n=10 \) si \( n=11 \) rezulta ca e adevarat \( \forall n\geq10 \)

\( \star\ \ \)O rezolvare la nivelul claselor VIII-IX (fara radicali de ordinul 3 si binomul lui Newton):

Inegalitatea devine:
(1) \( \ n^3-3n^2-3n-1>0 \)

\( n\ge10\Rightarrow \) exista \( \ p\ge0\ \) astfel incat\( \ n=p+10 \)
Inlocuim in (1) si se ajunge la o inegalitate evidenta.


\( \star\ \ \)Alta rezolvare la nivelul claselor VIII-IX:

Inegalitatea (1) se scrie succesiv:

\( n(n^2-3n-3)>1 \)
\( n[n(n-3)-3]>1 \)

Cum \( n\ge10 \), folosind proprietatile inegalitatilor obtinem:

\( n[n(n-3)-3]\ge670 \),
de unde si inegalitatea ceruta.