mateforum.ro

Exista, oare, un numar natural N>1, care sa fie putere a lui 2, iar in urma unei schimbari a ordinii cifrelor, sa devina o putere a lui 3?

Folosim metoda drumului invers. O putere a lui 3 este divizibila prin 3 => suma cifrelor este divizibila prin 3 => va ramane divizibila prin 3 si cand schimbam ordinea cifrelor => o putere a lui 2 divizibila prin 3.

Nu cred ca se poate.

Ai dreptate, nu se poate. O argumentatie corecta a acestui "nu se poate" presupune cunoscuta notiunea de numar prim, care se studiaza acum, oficial, de-abia in clasa a VI-a. Din fericire, mai toti profesorii amintesc cate ceva despre numereke prime in clasa a V-a.

Pe scurt:

Un numar prim este un numar natural >1 care n-are decat doi divizori: pe 1 si pe el insusi. Un numar prim p se poate scrie ca produs de numere naturale intr-un singur mod: \( p=1\cdot p \).

Un numar natural >1 care nu este prim se numeste numar compus.

Exemple de numere prime: \( 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13 \). Pe \( 7 \), de exemplu, nu-l putem scrie ca produs decat intr-un singur fel: \( 7=1\cdot 7 \)
Exemple de numere compuse: \( 4=2\cdot 2;\ \ 20=4\cdot 5 \)

Teorema. Orice numar natural se poate scrie, in mod unic, ca produs de numere prime (un numar prim poate fi privit, si el, ca un produs avand un singur factor).

Se mai spune ca orice numar natural se poate descompune in factori primi si ca aceasta descompunere este unica, daca nu tinem cont de ordinea factorilor.

Exemple:
\( 18=6\cdot3=2\cdot 3\cdot 3=2\cdot3^2 \)
\( 61=61 \) (acesta este prim)
\( 100=10\cdot10=2\cdot5\cdot2\cdot5=2^2\cdot5^2 \)

O parte importanta a teoremei afirma ca descompunerea in factori primi este unica. Ce vrea sa spuna acest lucru? Ca, indiferent prin ce metoda am lucra cand descompunem un numar in factori primi, in final se va ajunge la aceiasi factori primi, la aceleasi puteri.

De exemplu, cineva lucreaza asa:
\( 300=3\cdot100=3\cdot10\cdot10=3\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5=3\cdot2^2\cdot5^2 \)

Altcineva lucreaza altfel:
\( 300=50\cdot6=5\cdot10\cdot2\cdot3=5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot3=5^2\cdot2^2\cdot3 \)

Dupa cum observi, in final se ajunge la aceeasi descompunere, numai ca factorii primi apar in alta ordine.

Teorema. Daca un numar prim divide produsul mai multor numere naturale, atunci el divide cel putin unul dintre aceste numere.

De exemplu, daca 5 divide abc, atunci 5 divide cel putin unul dintre numerele a, b si c.

Acum stii tot ce-ti trebuie ca sa termini problema .


P.S. O lista cu numere prime si alte lucruri dragute gasiti AICI.

Multumesc. Acum stiu cum trebuie terminat

3 divide \( 2^n \), \( 2^n=2\cdot 2\cdot2...\dot2\ \). Dar 3 este nr. prim => 3 divide un 2 din \( 2^n \). Acest lucru este fals => nu exista numarul din problema.