mateforum.ro

Demonstrati ca daca o curba simpla inchisa imparte o sfera in doua regiuni de arii egale, atunci lungimea curbei este cel putin egala cu lungimea unui cerc mare al sferei considerate.

Demonstrati ca daca o curba simpla inchisa este situata pe o sfera si are lungimea mai mica decat lungimea unui cerc mare al sferei, atunci exista o emisfera care contine curba in intregime.

[Articol scris de Dan Schwarz in GMB 7-8/2008]

Exista multe teoreme frumoase despre curbe sferice. De exemplu:

1. Fie o curba sferica de lungime strict mai mica decit 2\( \pi \). Atunci curba e situata intr-o emisfera deschisa.

2. Aceeasi concluzie in ipoteza ca lungimea curbei este 2\( \pi \) si curba nu e reuniune a doua semicercuri mari.

Din 1. si 2., folosind curba sferica asociata unei curbe spatiale (e vorba despre curba descrisa de virful tangentei normalizate si mutate in origine), se demonstreaza:

3. (Fenchel) Integrala curburii unei curbe spatiale inchise este \( \geq 2\pi \), cu egalitate ddaca curba e plana si convexa.

O curba spatiala simpla (fara autointersectii) este un nod daca nu exista o functie continua si injectiva de la discul plan inchis in \( \mathbb{R}^3 \) care aplica frontiera discului pe imaginea curbei.

4. (Fary-Milnor) Integrala curburii unui nod este \( \geq 4\pi \).

L.O.

Si o solutie la problema ?

Beniamin Bogosel wrote: Demonstrati ca daca o curba simpla inchisa imparte o sfera in doua regiuni de arii egale, atunci lungimea curbei este cel putin egala cu lungimea unui cerc mare al sferei considerate. Demonstrati ca daca o curba simpla inchisa este situata pe o sfera si are lungimea mai mica decat lungimea unui cerc mare al sferei, atunci exista o emisfera care contine curba in intregime (Articolul lui Dan Schwarz in GMB 7-8/2008).

Superba problema ! Abia astept sa citesc articolul. Sper ca voi intelege demonstratia.
Chiar asa, am uitat pana si ce-i aceea o "curba simpla" ... Dar aflu eu repede din articol.

Dragos Fratila wrote:Si o solutie la problema ?

Banuiesc ca articolul contine si demonstratia acesteia.

Liviu Ornea wrote:Exista multe teoreme frumoase despre curbe sferice. L.O.

Imi permiteti sa va intreb : aceste rezultate obtinute de domnul Schwarz
sunt cunoscute sau sunt consecinte ale teoremelor enuntate de dvs. mai sus ?

Curba simpla cred ca inseamna fara autointersectii.

Se considera curba \( \Gamma \), care imparte sfera in 2 regiuni de arii egale. Atunci simetrica ei fata de centrul sferei \( \Gamma^\prime \) trebuie sa intersecteze \( \Gamma \) in cel putin un punct.

\( \Gamma \) imparte sfera in regiunile \( A \) si \( B \) si \( \Gamma^\prime \) imparte sfera in regiunile \( C,D \) de arii egale. Daca \( \Gamma \cap \Gamma^\prime =\emptyset \) atunci una dintre aceste regiuni va fi inclusa strict intr-o alta, ceea ce contrazice egalitatea ariilor.

Deci exista un punct de intersectie. Atunci si simetricul acestui punct fata de centrul sferei va apartine intersectiei, din simetrie.

Deci am gasit 2 puncte pe curba \( \Gamma \) diametral opuse. Avand in vedere ca cel mai scurt drum intre 2 puncte diametral opuse este lungimea unui semicerc mare, rezulta ca \( \Gamma \) are lungimea cel putin cat lungimea unui cerc mare al sferei.

Faina solutia Beni.

Problema aceasta este caz particular din ceva putin mai general:

Daca o curba inchisa simpla pe sfera are proprietatea ca orice cerc mare o intersecteaza, atunci lungimea ei este cel putin \( 2\pi \). (In cazul problemei initiale se intampla asta dupa cum se poate vedea usor.)

Problema se poate face elementar (clasa a 7-a) nu prea complicat sau folosind o chestie faina: formula Cauchy-Crofton (pe sfera).

Sunt curios daca mai sunt si alte solutii in articolul din Gazeta.

Pentru a doua problema postata de mine:

Daca o curba simpla inchisa \( \Gamma \) are lungimea mai mica decat un cerc mare al sferei, atunci daca am considera simetrica ei fata de centru \( \Gamma_1 \) atunci acestea nu se intersecteaza, in caz contrar, folosind demonstratia de la problema precedenta lungimea curbei ar fi mai mare decat lungimea unui cerc mare al sferei, ceea ce contrazice ipoteza. Deci una dintre regiunile determinate de \( \Gamma \) are aria stricti mai mica decat jumatatea ariei sferei.

Consideram \( S(v) \) aria regiunii cu arie mai mica determinate de \( \Gamma \) in emisfera determinata de planul care e normal la \( v \) situata in semispatiul care il contine pe \( v \) pentru \( v \) de pe sfera unitate. Functia \( S \) e continua pe sfera unitate din \( \mathbb{R}^3 \), care este compacta. Deci exista un vector \( v \) pentru care aria regiunii, \( S(v) \) este maxima si e mai mica decat jumatate din aria sferei. Cred ca atunci curba ar trebui sa fie situata in intregime intr-o emisfera, pentru ca altfel am putea creste aria.

Nu stiu daca e bine, dar mai ma gandesc...

Iata si un rezultat al lui Jacobi:

Fie : \( \gamma:I\rightarrow \mathbb{R}^3 \) o curba regulata, simpla, inchisa, cu curbura nenula. Fie \( n(I) \) imaginea curbei descrise pe sfera \( S^2 \) de vectorul normal unitar al lui \( \gamma \). Daca \( n(I) \) e simpla, atunci ea imparte \( S^2 \) in doua regiuni de arii egale.

Cum se poate demonstra ca o curba imparte sfera in 2 regiuni de arii egale?

o varianta ar fi teorema Gauss-Bonnet

Din aceeasi familie:

Demonstrati ca daca o linie franta( o curba) fara autointersectii imparte un cerc in doua regiuni de arii egale atunci lungimea liniei frante (curbei) este cel putin cat a diametrului cercului.