mateforum.ro

Fie \( A,B,C,D \) patru puncte necoplanare, \( E,F,G \) picioarele inaltimilor \( \Delta BCD \) si \( R, P, Q \) mijloacele laturilor aceluiasi triunghi \( (E,R \in BC; F,P \in CD ; G, Q \in BD) \)..

\( a) \) Sa se arate ca \( AE=AF=AG \) daca si numai daca \( AR=AQ=AP \).
\( b) \) Daca \( AB=CD \), \( AD=BC \) si \( AC=BD \) sa se arate ca fetele tetraedrului sunt triunghiuri ascutitunghice.

Concursul "Cristian S. Calude", 2000

b) Se stie ca daca OABC este un triedru nedegenerat si \( \alpha\beta, \gamma \) sunt masurile unghiurilor fetelor triedrului atunci:

\( \alpha+\beta+\gamma< 2\pi \)

\( \gamma<\alpha+\beta \)

\( \beta<\alpha+\gamma \)

\( \alpha<\beta+\gamma \)

Apoi totul rezulta din faptul ca fetele tetraedrului sunt tringhiuri congruente.

Daca triedrul este nedegenerat....\( \alpha+\beta+\gamma < 2 \pi \)
In rest este OK.

a)Proiectam A in O pe planul (BCD).

Atunci AE=AF=AG daca si numai daca O este centrul cercului lui Euler corespunzator triunghiului BCD , daca si numai daca OR=OQ=OP, daca si numai daca AR=AQ=AP.